Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1018 / 746
↖ ↑ ↗
← N 43.834527°
W  1.054688°		 ← 14.099 km → N 43.834527°
W  0.878906°		 →
↑
14.114 km
↓
↑
14.114 km
↓
N 43.707593°
W  1.054688°		 ← 14.129 km →
199.215 km²		 N 43.707593°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497314453125 y=0.364501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497314453125 × 211)
    floor (0.497314453125 × 2048)
    floor (1018.5)     		tx = 1018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364501953125 × 211)
    floor (0.364501953125 × 2048)
    floor (746.5)     		ty = 746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1018 / 746 ti = "11/1018/746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1018/746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1018 ÷ 211
    1018 ÷ 2048     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 746 ÷ 211
    746 ÷ 2048     		y = 0.3642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852893318040039))-π/2
    2×atan(2.34642599675182)-π/2
    2×1.16792657259049-π/2
    2.33585314518098-1.57079632675     		φ = 0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1018 KachelY 746 -0.01840777 0.76505682 -1.054688 43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 1019 KachelY 746 -0.01533981 0.76505682 -0.878906 43.834527
    Unten links KachelX 1018 KachelY + 1 747 -0.01840777 0.76284141 -1.054688 43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 1019 KachelY + 1 747 -0.01533981 0.76284141 -0.878906 43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76505682-0.76284141) × R
    0.00221540999999992 × 6371000     		dl = 14114.3771099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76505682-0.76284141) × R
    0.00221540999999992 × 6371000     		dr = 14114.3771099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01533981) × cos(0.76505682) × R
    0.00306796 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 14099.3510406819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01533981) × cos(0.76284141) × R
    0.00306796 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 14129.3066665535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76505682)-sin(0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.72287557907163)×R²
    abs(-0.01533981--0.01840777)×0.00153257275175667×R²
    0.00306796×0.00153257275175667×6371000²
    0.00306796×0.00153257275175667×40589641000000     		ar = 199215041.574155m²