Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1018 / 717
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
W  1.054688°		 ← 13.231 km → N 47.398349°
W  0.878906°		 →
↑
13.246 km
↓
↑
13.246 km
↓
N 47.279229°
W  1.054688°		 ← 13.260 km →
175.445 km²		 N 47.279229°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497314453125 y=0.350341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497314453125 × 211)
    floor (0.497314453125 × 2048)
    floor (1018.5)     		tx = 1018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350341796875 × 211)
    floor (0.350341796875 × 2048)
    floor (717.5)     		ty = 717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1018 / 717 ti = "11/1018/717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1018/717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1018 ÷ 211
    1018 ÷ 2048     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 717 ÷ 211
    717 ÷ 2048     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1018 KachelY 717 -0.01840777 0.82725725 -1.054688 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 1019 KachelY 717 -0.01533981 0.82725725 -0.878906 47.398349
    Unten links KachelX 1018 KachelY + 1 718 -0.01840777 0.82517821 -1.054688 47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 1019 KachelY + 1 718 -0.01533981 0.82517821 -0.878906 47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82517821) × R
    0.00207904000000003 × 6371000     		dl = 13245.5638400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82517821) × R
    0.00207904000000003 × 6371000     		dr = 13245.5638400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01533981) × cos(0.82725725) × R
    0.00306796 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 13230.6141195331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01533981) × cos(0.82517821) × R
    0.00306796 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 13260.4973856339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.01533981--0.01840777)×0.00152887072217878×R²
    0.00306796×0.00152887072217878×6371000²
    0.00306796×0.00152887072217878×40589641000000     		ar = 175444917.512496m²