Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1017 / 745
↖ ↑ ↗
← N 43.961191°
W  1.230469°		 ← 14.069 km → N 43.961191°
W  1.054688°		 →
↑
14.084 km
↓
↑
14.084 km
↓
N 43.834527°
W  1.230469°		 ← 14.099 km →
198.370 km²		 N 43.834527°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496826171875 y=0.364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496826171875 × 211)
    floor (0.496826171875 × 2048)
    floor (1017.5)     		tx = 1017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364013671875 × 211)
    floor (0.364013671875 × 2048)
    floor (745.5)     		ty = 745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1017 / 745 ti = "11/1017/745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1017/745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1017 ÷ 211
    1017 ÷ 2048     		x = 0.49658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 745 ÷ 211
    745 ÷ 2048     		y = 0.36376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02147573} λ = -0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855961279615723))-π/2
    2×atan(2.35363579558782)-π/2
    2×1.16903192326168-π/2
    2.33806384652335-1.57079632675     		φ = 0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1017 KachelY 745 -0.02147573 0.76726752 -1.230469 43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 1018 KachelY 745 -0.01840777 0.76726752 -1.054688 43.961191
    Unten links KachelX 1017 KachelY + 1 746 -0.02147573 0.76505682 -1.230469 43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 1018 KachelY + 1 746 -0.01840777 0.76505682 -1.054688 43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76726752-0.76505682) × R
    0.00221070000000001 × 6371000     		dl = 14084.3697000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76726752-0.76505682) × R
    0.00221070000000001 × 6371000     		dr = 14084.3697000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02147573--0.01840777) × cos(0.76726752) × R
    0.00306796 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 14069.3901212388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02147573--0.01840777) × cos(0.76505682) × R
    0.00306796 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 14099.3510406819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76726752)-sin(0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.01840777--0.02147573)×0.00153284357846395×R²
    0.00306796×0.00153284357846395×6371000²
    0.00306796×0.00153284357846395×40589641000000     		ar = 198369563.043273m²