Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1012 / 719
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
W  2.109375°		 ← 13.290 km → N 47.159840°
W  1.933594°		 →
↑
13.305 km
↓
↑
13.305 km
↓
N 47.040182°
W  2.109375°		 ← 13.320 km →
177.032 km²		 N 47.040182°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494384765625 y=0.351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494384765625 × 211)
    floor (0.494384765625 × 2048)
    floor (1012.5)     		tx = 1012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351318359375 × 211)
    floor (0.351318359375 × 2048)
    floor (719.5)     		ty = 719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1012 / 719 ti = "11/1012/719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1012/719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1012 ÷ 211
    1012 ÷ 2048     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 719 ÷ 211
    719 ÷ 2048     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1012 KachelY 719 -0.03681554 0.82309448 -2.109375 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 1013 KachelY 719 -0.03374758 0.82309448 -1.933594 47.159840
    Unten links KachelX 1012 KachelY + 1 720 -0.03681554 0.82100606 -2.109375 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 1013 KachelY + 1 720 -0.03374758 0.82100606 -1.933594 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82100606) × R
    0.00208841999999998 × 6371000     		dl = 13305.3238199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82100606) × R
    0.00208841999999998 × 6371000     		dr = 13305.3238199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03374758) × cos(0.82309448) × R
    0.00306796 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 13290.3905524242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03374758) × cos(0.82100606) × R
    0.00306796 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 13320.2931008989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.03374758--0.03681554)×0.00152985723606081×R²
    0.00306796×0.00152985723606081×6371000²
    0.00306796×0.00152985723606081×40589641000000     		ar = 177031945.883237m²