Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 101 / 122
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
E104.062500°		 ← 36.164 km → S 83.359512°
E106.875000°		 →
↑
35.297 km
↓
↑
35.297 km
↓
S 83.676943°
E104.062500°		 ← 34.443 km →
1 246.11 km²		 S 83.676943°
E106.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79296875 y=0.95703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79296875 × 27)
    floor (0.79296875 × 128)
    floor (101.5)     		tx = 101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.95703125 × 27)
    floor (0.95703125 × 128)
    floor (122.5)     		ty = 122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 101 / 122 ti = "7/101/122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/101/122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101 ÷ 27
    101 ÷ 128     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122 ÷ 27
    122 ÷ 128     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101 KachelY 122 1.81623325 -1.45489794 104.062500 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 102 KachelY 122 1.86532064 -1.45489794 106.875000 -83.359512
    Unten links KachelX 101 KachelY + 1 123 1.81623325 -1.46043816 104.062500 -83.676943
    Unten rechts KachelX + 1 102 KachelY + 1 123 1.86532064 -1.46043816 106.875000 -83.676943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.46043816) × R
    0.0055402200000001 × 6371000     		dl = 35296.7416200006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.46043816) × R
    0.0055402200000001 × 6371000     		dr = 35296.7416200006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.86532064) × cos(-1.45489794) × R
    0.04908739 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 36164.4803696538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.86532064) × cos(-1.46043816) × R
    0.04908739 × 0.110134295858067 × 6371000     		du = 34442.9329033643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.46043816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.110134295858067)×R²
    abs(1.86532064-1.81623325)×0.00550479886593863×R²
    0.04908739×0.00550479886593863×6371000²
    0.04908739×0.00550479886593863×40589641000000     		ar = 1246108998.72184m²