Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100361 / 100355
↖ ↑ ↗
← S 68.659553°
E 95.649719°		 ← 111.15 m → S 68.659553°
E 95.652466°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
S 68.660553°
E 95.649719°		 ← 111.14 m →
12 356 m²		 S 68.660553°
E 95.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765697479248047 y=0.765651702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765697479248047 × 217)
    floor (0.765697479248047 × 131072)
    floor (100361.5)     		tx = 100361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765651702880859 × 217)
    floor (0.765651702880859 × 131072)
    floor (100355.5)     		ty = 100355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100361 / 100355 ti = "17/100361/100355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100361/100355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100361 ÷ 217
    100361 ÷ 131072     		x = 0.765693664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100355 ÷ 217
    100355 ÷ 131072     		y = 0.765647888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765693664550781 × 2 - 1) × π
    0.531387329101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66940253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765647888183594 × 2 - 1) × π
    -0.531295776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66911490787074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66940253} λ = 1.66940253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66911490787074))-π/2
    2×atan(0.188413755391913)-π/2
    2×0.186230525880925-π/2
    0.372461051761851-1.57079632675     		φ = -1.19833527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66940253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.649719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19833527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.659553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100361 KachelY 100355 1.66940253 -1.19833527 95.649719 -68.659553
    Oben rechts KachelX + 1 100362 KachelY 100355 1.66945047 -1.19833527 95.652466 -68.659553
    Unten links KachelX 100361 KachelY + 1 100356 1.66940253 -1.19835272 95.649719 -68.660553
    Unten rechts KachelX + 1 100362 KachelY + 1 100356 1.66945047 -1.19835272 95.652466 -68.660553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19833527--1.19835272) × R
    1.74499999998634e-05 × 6371000     		dl = 111.17394999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19833527--1.19835272) × R
    1.74499999998634e-05 × 6371000     		dr = 111.17394999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66940253-1.66945047) × cos(-1.19833527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363908845081982 × 6371000     		do = 111.147128301637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66940253-1.66945047) × cos(-1.19835272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363892591493384 × 6371000     		du = 111.142164037312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19833527)-sin(-1.19835272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363908845081982-0.363892591493384)×R²
    abs(1.66945047-1.66940253)×1.62535885975257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62535885975257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62535885975257e-05×40589641000000     		ar = 12356.3893362545m²