Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100357 / 100357
↖ ↑ ↗
← S 68.661552°
E 95.638733°		 ← 111.14 m → S 68.661552°
E 95.641480°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
S 68.662552°
E 95.638733°		 ← 111.13 m →
12 355 m²		 S 68.662552°
E 95.641480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765666961669922 y=0.765666961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765666961669922 × 217)
    floor (0.765666961669922 × 131072)
    floor (100357.5)     		tx = 100357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765666961669922 × 217)
    floor (0.765666961669922 × 131072)
    floor (100357.5)     		ty = 100357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100357 / 100357 ti = "17/100357/100357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100357/100357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100357 ÷ 217
    100357 ÷ 131072     		x = 0.765663146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100357 ÷ 217
    100357 ÷ 131072     		y = 0.765663146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765663146972656 × 2 - 1) × π
    0.531326293945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66921078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765663146972656 × 2 - 1) × π
    -0.531326293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66921078166998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66921078} λ = 1.66921078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66921078166998))-π/2
    2×atan(0.188395692315256)-π/2
    2×0.186213081998259-π/2
    0.372426163996517-1.57079632675     		φ = -1.19837016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66921078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.638733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19837016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.661552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100357 KachelY 100357 1.66921078 -1.19837016 95.638733 -68.661552
    Oben rechts KachelX + 1 100358 KachelY 100357 1.66925872 -1.19837016 95.641480 -68.661552
    Unten links KachelX 100357 KachelY + 1 100358 1.66921078 -1.19838761 95.638733 -68.662552
    Unten rechts KachelX + 1 100358 KachelY + 1 100358 1.66925872 -1.19838761 95.641480 -68.662552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19837016--1.19838761) × R
    1.74499999998634e-05 × 6371000     		dl = 111.17394999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19837016--1.19838761) × R
    1.74499999998634e-05 × 6371000     		dr = 111.17394999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66921078-1.66925872) × cos(-1.19837016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363876347108453 × 6371000     		do = 111.137202584023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66921078-1.66925872) × cos(-1.19838761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363860093298311 × 6371000     		du = 111.132238252033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19837016)-sin(-1.19838761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363876347108453-0.363860093298311)×R²
    abs(1.66925872-1.66921078)×1.62538101414755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62538101414755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62538101414755e-05×40589641000000     		ar = 12355.2858512112m²